本篇不提倡賭博，只是涉及到賭博相關之數學和統計。希望能透過我在旅遊中去過的賭場經驗，來解釋二十一點這個遊戲的獨特之處，我針對大多數亞洲賭場規則寫出模擬程式，用數據分析許多玩家的迷思。
前言
二十一點(Blackjack)是賭場中公認玩家優勢最大的遊戲，約50年前電腦就計算出二十一點的基本策略(basic strategy)，甚至有職業賭徒透過算牌成為優勢玩家，相關題材的電影也不計其數。然而，從我曾去旅遊過的拉斯維加斯、澳門、韓國、新加坡賭場的經驗，看到的是九成以上的娛樂玩家幾乎都是輸錢的。本篇不討論算牌，單純用基本策略講解基礎觀念。
規則與基本策略
或許有些人不熟悉二十一點，因此先說明大多數賭場的通用規則，詳細小規則差異在此不做討論。
- 10, J, Q, K皆算做10點，A可當成1或11點。
- 首先玩家拿到兩張牌，莊家拿一張牌。
- 接著玩家先選擇是否補牌，可以選擇不補或者補數張牌，補超過21點則爆牌直接輸。(也可以選擇投降，加倍賭注只拿一張牌，兩張牌相同可以分牌當兩手牌)
- 最後莊家補牌，莊家必須補至17點以上，若莊家爆牌則玩家勝利，雙方皆無爆牌則比點數大小。
以上規則可以發現二十一點並不像百家樂或輪盤單純靠運氣來玩，拿到不同牌都有不同的加牌策略，若是單憑依靠感覺來玩，勝率會遠低於賭場的所有遊戲，這也是這個遊戲對娛樂型玩家和觀光客不友善的地方。
不過二十一點所有排列組合都有電腦最佳解的，在網路上可以找到根據牌桌規則的不同的基本策略表(basic strategy chart)。按照基本策略，賭場優勢大約只剩0.5%，相當於平均每下注100元，玩家只輸0.5元，優勢近乎與賭場五五開。
即使你不懂任何原理，若把所有情況背起來也能與賭場抗衡。甚至你把表格帶上賭桌也是允許的，連背下來的時間都省了! (註: 此表格會根據不同賭規略有差異)
橫軸為莊家牌面，縱軸為玩家目前點數。左圖上為玩家基本點數對上莊家的打法(hard totals)，左圖下是玩家有A的特殊情況(soft totals, 因為A可以當1或11點)，右邊表格是拿到兩張相同牌時，是否需分兩副牌來打，分牌後則回到左圖策略。H是拿牌，S是停牌，D是加倍賭注(只允許拿一張牌)。
不過神奇的是，即使很多懂基本策略的玩家，卻時常不喜歡按照策略走，白白給賭場更多的優勢，他們往往給出的原因是基本策略並不總是有用，或是賭博還是要按照經驗或感覺打比較好。然而是什麼樣的原因使然呢?
迷思一：賭場優勢僅0.5%，卻感覺勝率低
照理說按照基本策略打法，平均每打10手牌應該要贏5手牌，但實際上可能只贏3–5手牌都是常態，因為玩家最大的劣勢是早於莊家先補牌。玩家一旦爆牌，無論莊家有沒有潛在爆牌的可能就會直接輸。
而玩家的優勢在於，起手拿到21點(Blackjack, A+10)可以拿到1.5倍的賠率，以及有在優勢時加注賭倍和分牌的權利，透過這些優勢平均下來，才是投報率近五成的原因。實際透過程式隨機連續跑10萬手牌，一注下1塊錢，這裡為了方便觀察，分別重複三次，以大數統計出的結果如下:
- 三次的統計結果極度相近，勝率約為41.7%，輸率約為49.7%，平手則約8.5%。勝率雖然只有41.7%，但藉著十萬手牌中拿到Blackjack4772次(47.7%)，賭倍9071次成功5048次，所以最終僅僅只輸390。
- 在前兩萬手牌中由於手牌數不夠多，玩家與莊家互有輸贏。在十萬手牌模擬完畢時，玩家投入的10萬元中，輸了400元左右，證明程式使用大眾賭規之下，玩家是不可能長期贏的，不過莊家優勢僅僅為0.4%。
- 由於勝率其實只有42%左右，因此如果想像百家樂一樣，使用少數幾次all in打法，很難在短期拿到Blackjack或是賭倍機會，所以感覺上來說會輸多贏少。更何況不懂基本策略的娛樂玩家，在不會正確賭倍和分牌情況下，勢必很快就輸光了。
迷思二：反直覺的基本策略
基本策略的核心觀念為，在莊家強勢牌面的時候，玩家努力加牌至17點以上與之抗衡；反之莊家容易爆的牌面，則選擇保守停牌讓莊家爆牌，或者賭倍和分牌盡可能贏兩倍。
由於有著莊家必須補到17點以上的規則，我們可以知道莊家2–6點需要至少補兩張牌。此外10點的牌(10,J,Q,K)在牌組中佔極大的比例(4/13)，所以莊家在2–6點的牌面爆牌機率高，反之莊家7以上的牌面僅需要一張10就滿足17點的條件。因此如基本策略表中所見，在莊家7點以上，玩家策略都是要牌直到17點為止。
舉例來說，莊家牌面8點，玩家兩張牌總和為16點，基本策略為拿牌(hit)。但此時很多玩家認為16點不該拿牌，因為只有拿到1–5點才有機會不爆牌(機率太小)，即使不爆還要再跟莊家比點數，寧可保守等到莊家爆牌。
那麼這個想法錯在哪呢？以程式模擬不補牌(stand)和拿牌(hit)的差異如下。
上圖中不補牌的情況下勝率24.36%，輸率75.64%，10萬手牌結束共輸51286元；下圖補牌則是勝率24.31%，輸率69.87%，多了和局5.83%，總共輸45561元，所以補牌能夠少輸了6000塊。
因此問題在於玩家16點對上莊家8點這個情況，本身就是一個快要輸的局面，拿牌這個動作實際上是將你的輸率從75%減少為70%，但一般人因為無法量化停牌的輸率，直覺著重在拿牌勝率很低這件事。就好像你被迫選擇和一隻熊或一隻野狗打架，雖然兩者都很差，但我們仍然要選擇後者，相對沒那麼差的選項。
基本策略表中還有很多類似這樣的案例，例如玩家兩張3對上莊家7點的策略為分牌(split)，分牌雖然期望值為負，還增加了槓桿，但同時能大幅度的降低輸率。這些就是導致非常多玩家選擇不相信基本策略的原因。
迷思三：過多的投降
如同電影賭俠台詞一樣，大多數賭場二十一點規則中是允許投降輸一半的。這是一條對玩家有利的規定，因為在輸率極大的牌面可以選擇拿回一半的賭金。然而這條賭規很大的層面卻讓娛樂玩家輸得更快。
根據基本策略，投降只有4種情況，分別是玩家14/15/16點對莊10點、16點對莊9點(通常莊家A不允許投降)。仔細一想會發現一個問題，明明很多牌面也都對玩家不利，甚至連上述勝率極低的例子(16對8點)都不需要投降，這是什麼原因呢？
這也是我剛開始的疑問，但很快我就發現解答。其實這裡可以思考一下，在不考慮和局的情況下，任何博弈遊戲在勝率多少以下，投降輸一半才是有利的呢？50%嗎？
投降的話，報酬率是-50%。以x表示勝率可列出方程式：x-(1-x)<-50%，x=0.25，也就是勝率低於25%才需要投降(若有和局則將和局攤銷在輸贏率)。如同上一個迷思，一般玩家並不會感覺出隱藏的勝率，往往在勝率30%，35%就感覺快輸了直接投降，又白白送給了賭場優勢。
波動率實測
相比於百家樂的1賠1或是1賠0.95，由於二十一點有賭倍，分牌，所以波動無疑是更大的。套用現實情況，假設玩家使用基本策略玩了一個多小時，每次下注1元，剛好100手牌，我們先以程式視覺化，看看跑200次折線圖的輸贏區間。
更準確來看，跑10萬次，得出平均數和標準差結果如下
- 平均每一百手輸0.376，即為賭場優勢約0.376
- 經檢驗，數據是符合常態分佈的。標準差為11.146，也就是68%的機率預期輸贏波動約為±11.15*每注籌碼，95%輸贏波動在±22.3*每注籌碼，99.7%波動在±33.45*每注籌碼。
- 雖然波動不會影響遊戲，但可以用來評估賭本，也能拿來當作停損和停利的參考。舉例來說最低注碼為100元的賭桌，帶了1000元的起始資金，希望贏到2000停手，但可能不到半小時就承受不了波動而先輸完本金。
小結
賭場是相信大數法則的，一點也不怕玩家從賭場贏錢，因為只要人數夠多，每個遊戲的賭場優勢必定使其賺錢。二十一點只能說相對其他遊戲輸錢更慢一些，除非在好的規則賭場，加上算牌技術和足夠大的資金管理，否則一般娛樂玩家終將無法戰勝大數法則。
