上篇文講述了21點這個賭戲其實過度被理想化，後來陸續收到私信問了我對於算牌的看法。這次我用Python更完整地寫出可以通用各賭場21點規則的程式，並加入各種算牌演算法及策略模擬結果
前言
現在這個時代，大部分的賭場（尤其是亞洲）都改用連續洗牌機，也就是算牌已經沒有辦法使用了。因此本篇將以理論討論那些電影中的情節、或聲稱在歐美國家算牌獲利的職業賭徒，是否是靠運氣的幸存者偏差？還是確實有可行性。
算牌的原理是什麼
白話來說，就是根據已發出的牌，持續地追蹤牌盒裡剩下的牌是大牌或小牌偏多，若大牌偏多，則根據基本策略（Basic strategy）勝率會提升0.5–1%不等；若小牌偏多勝率則會下降。那麼只要在勝率大的時候下大注，勝率小的時候下小注或是離桌，你的收益長期下來就會為正，進而打敗賭場成為優勢玩家。
書上及網路上存在諸多教學，從最基本的Hi-Low算牌，到根據真數大小調整基本策略，最後下注大小使用凱莉公式（Kelly criterion），整套流程下來為最經典的算牌法。不過還有一些傳聞的技術，如切牌，Ａ追蹤等等，就不在本篇的討論中。
當然賭場也是會用一些手段預防算牌玩家，例如給出更差的規則 — — 即使讓你算牌，也是讓你勝率的起跑點更低，或是很差的穿透率（指玩家玩到牌盒一定位置的時候牌必須重洗），直接大幅減少你算到優勢情況的機率
程式模擬
為了更接近真實情況，我採用我在亞洲見過的唯一非連續洗牌機的賭場：韓國華克山莊的規則(6 decks, min bet ₩100,000, dealer stand on soft 17, late surrender allowed, double on any 2 cards, split up to 4 hands, Aces re-split 有興趣的人請自行上網查規則的差別)
這裡為了方便計算，我們每次賭注設定1 元，連續玩1000次後畫出折線圖，並且這個動作重複50次先觀察看看無算牌和有算牌的差別
上圖為無算牌連續玩1000次，共重複50次的結果。平均報酬為-6.42，每下1元期望值為-0.00642；而有算牌的平均結果為12.04，每下1元期望值0.01204，期望值來到了正值，代表算牌確實可以打敗賭場！
不過值得注意的是算牌後的震盪更劇烈，甚至兩者的結果從±70來到了±150個注碼。當然這是因為勝率增加時，根據凱莉公式會下大注所導致，粗略來算從50.5%勝率開始每提升0.5%勝率注碼加倍，因此勝率在52%左右需要下注8倍的注碼。
因此也引發出一個值得思考的問題，追求期望值的同時，承受得住風險嗎？
算牌的風險
我們仔細想想算牌玩家所說「勝率大的時候下大注，勝率小的時候下小注，收益長期為正」這句話有沒有什麼問題？
理論上是正確的，然而執行上卻有一些前提我們需要了解：
- 賭桌最小賭注多少
- 我們本金有多少
- 標準差多大
舉例來說：假設兩個遊戲讓你選則，必須玩100次，你會怎麼選？
a) 一次下注1元，期望值為-0.1，玩100次的標準差為10 (10個注碼)
b) 一次下注5元，期望值為+0.1，玩100次的標準差為100 (20個注碼)
正常下我們一定會選期望值高的那一個(b)，然而加入了標準差我們會發現：選擇(a)的獲利會在 -30 ~ +10 之間(95%信賴區間，±2個標準差)， 選擇(b)獲利會落在 -190 ~ +210，雖然說期望值越高無疑是越好的選擇，但因為標準差的差距太大，導致這兩者已經完全不能拿來做比較，因為必須去考慮能否承擔高標準差虧損的風險。
用更貼近普通人的例子來說，假設某隻股票在半年後高機率上漲，然而中途中有機會經歷多次跌停，你能夠承受這樣的損失嗎？
在股市之中，以上的解決的方法很單純，就是風險控管得當，避免開過大槓桿即可。然而賭場中卻無法解決這個問題 — — 因為通常給出較好規則且可以算牌的牌桌，最低注碼都不小（上述華克山莊的例子單注最低注碼將近2500台幣）。再者，由於21點規則的特殊性，必要的時候會分牌或加注，導致槓桿會再更大。
長期算牌下的標準差有多大
為了計算長期玩下來的標準差，我們再把手牌數增加到10,000手（大約為職業賭徒打3–6個月的時長），並且重複1,000次做統計，結果如下：
模擬結果如長條圖所示，平均每連續玩10,000手的獲利為+150，不過標準差卻驚人的來到312，這個數字是什麼概念呢？通常可執行算牌的賭桌至少單注為50美金起跳，即使我們只計算兩個標準差的區間，等同於平均獲利$7,500(台幣240,000)，但實際結果的損益介於$-23,700~$38,700（台幣-758,400~1,238,400）如果極端一些的計算3個標準差的情況，實際上有極小機會虧損超過百萬台幣！對於賭場而言他們有無限的資金，但對於玩家而言只要僅僅一次用完資金就意味結束了。因此若單純認為期望值為正就認為有利可圖的話，很可能聰明反被聰明誤！
真實世界中的可採取的其他策略
上述模擬是純粹以數學模型來討論，然而實際上還是有很多變因，大致上我把它們區分為改善方法和難題。
a) 改善方法
- 退佣
有些賭場其實是可以讓買入大量籌碼的客戶談退佣和輸錢折扣的，通常是指買入美金1萬以上級別的客戶（有點類似股票大戶可以與券商談手續費）。若可以與公關談到0.5%的退佣，那麼我們的標準差模型即可向右平移，獲利為正的機率於從60%機率增加到70%。 - 多人團隊
相當於多人入股，若獲利區間為-100萬到+120萬，那麼5人團隊就能減低到-20萬到24萬，是最有效對抗波動的方法，這也是最普遍職業賭徒的做法，電影中通常也是以4–5個主角群飾演賭博團隊
b) 難題
- 成本過高
既然賭徒以賺錢為目的，那麼成本的控制就顯得重要。然而若不是本地人，所有的機票及住宿會是一筆數目，舉例來說網路上聲稱招募賭徒團隊卻只有一兩個星期的行程，實際上扣掉成本是無法獲利的。 - 賭場監控
有如電影演的劇情，若完全不藏算牌技術的賭客很快就會被賭場注意到，讓自己增添更多麻煩。這裡指的顯露技術指的是100%按照算牌公式和下注大小打牌，然而既要最大化獲利又要故意打錯牌無疑是一個艱難的挑戰。 - 賭場作弊的可能
哪怕是找到一個規則好又可以算牌的賭場，你也無法證明賭場完全無作弊的可能。由於玩家無法驗牌，假設牌盒中添加了一些小牌，會直接讓按照標準策略的人越輸越多，重點是統計學也無法證明是賭場作弊還是玩家運氣差。
結論
雖然說我們已經驗證21點算牌是有機會打敗賭場的，但仔細想想會發現，你必須長期的練習，完美的做對數十件事才能成立你的策略，然而只要做錯一件事，又或者運氣稍差就失敗了，是非常吃力不討好的事情。
以投資的成本和天時地利人和的要件來說，有如此的頭腦和資金，或許嘗試最簡單的債券投資或是股市，也遠比靠算牌獲利容易。
後記
上一篇發文已經是一年前，當時用的是windows作業系統，所以資料視覺化是用C#的Winform非常的方便，這次用Mac OS所以改採用Python的套件Tkinter做介面加上Matplotlib做圖，唯一的小缺點應該是Tkinter沒辦法做的太精美而已。
演算法的部分因為我沒有研究深度學習和蒙地卡羅演算法，因此暴力解的速度大約是在10秒內跑出10⁸次方手牌，複雜度為O(n)，同時畫折線圖時間成本很也很高，因此以折線圖觀察趨勢，再以長條圖做統計最適合。
